Prova Indutiva: Soma de uma série geométrica

Neste post, apresentaremos a prova por indução da fórmula que calcula a soma dos termos de uma progressão geométrica. 

                                                $\sum\limits_{i=0}^n r^i = \frac{r^{n + 1} - 1}{r - 1}$

A prova é por indução em n:

• Caso Base: Para n = 0 temos, $\sum\limits_{i=0}^0 r^i = \frac{r ^ {0 + 1} - 1}{r - 1} = 1$.
• Hipótese de Indução: Vamos assumir que a fórmula é válida para n-1. Logo, temos $\sum\limits_{i=0}^{n-1}r^i = \frac{r ^ {n -1 + 1} - 1}{r - 1}= \frac{r ^{n} - 1}{r - 1}$.
• Caso Geral: Para compor o caso geral, vamos somar o elemento r^n a soma dos n-1 elementos da P.G. encontrada na hipótese de indução, temos

                                                                  $\sum\limits_{i=0}^n r^i=( \sum\limits_{i=0}^{n-1} r^i ) + r^n$

                                                                            $=\frac{r ^{n} - 1}{r - 1} + r^n$

                                                                            $=\frac{r ^{n} - 1 + (r-1)r^n}{r - 1}$

                                                                            $=\frac{r ^{n} - 1 + r^{n+1} - r^n}{r - 1}$
                                                                 
                                                                            $=\frac{r ^{n+1} - 1}{r - 1}$             C.Q.D.