Prova Indutiva: $F{\tiny 1}^2 + F{\tiny 2}^2 + F{\tiny 3}^2 + ... + F{\tiny n}^2 = F{\tiny n} \times F{\tiny n+1}$

A sequência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .... é conhecida como série de Fibonacci e foi definida formalmente aqui. Os números de Fibonacci possuem várias propriedades interessantes, agora vamos apresentar uma delas, provando por indução que

                                                           $F{\tiny 1}^2 + F{\tiny 2}^2 + F{\tiny 3}^2 + ... + F{\tiny n}^2 = F{\tiny n} \times F{\tiny n+1}$

A prova é por indução em n:

• Caso Base: Para n = 1, $F{\tiny 1}^2 = F{\tiny 1} \times F{\tiny 2}$.
• Hipótese de Indução: Vamos assumir que $F{\tiny 1}^2 + F{\tiny 2}^2 + F{\tiny 3}^2 + ... + F{\tiny n-1}^2 = F{\tiny n-1} \times F{\tiny n}$.
• Caso Geral: No passo indutivo, basta adicionarmos o valor de $F{\tiny n}^2$ a soma dos primeiros n-1 elementos que definimos na hipótese de indução, ou seja

                                                     $F{\tiny n} \times F{\tiny n+1} = \overbrace{\underbrace{(F{\tiny n-1} \times F{\tiny n})}_\text{Hipótese de Indução} + F{\tiny n}^2}^{Caso Geral}$

                                                    $F{\tiny n} \times F{\tiny n+1} = F{\tiny n} \times (F{\tiny n-1} + F{\tiny n})$

                         {Por definição, sabemos que $F{\tiny n} = F{\tiny n-1} + F{\tiny n-2}$, logo $F{\tiny n-1} + F{\tiny n} = F{\tiny n+1}$}

                                                   $F{\tiny n} \times F{\tiny n+1} = F{\tiny n} \times F{\tiny n+1}$      C.Q.D.