Prova Indutiva: $2^n$ > $n^2$, para n $\geq$ 5

Continuando nossa série de posts sobre provas por indução, vamos mostrar que: $2^n$ > $n^2$, para n $\geq$ 5.

Prova por indução em n:

• Caso Base: Para n = 5, $2^5 > 5^2$.
• Hipótese de Indução: Vamos assumir que a inequação é valida para n-1, ou seja, $2^{n-1} > (n-1)^2$.
• Caso Geral: Agora vamos utilizar a hipótese de indução e estender a solução, esta etapa também é conhecida como "passo indutivo".

                                                  $2 * 2^{n-1} > 2*(n-1)^2$     {multiplicando ambos os lados por 2}
                                                  $2^n > 2(n^2 - 2n + 1)$
                                                  $2^n > n^2 + n^2 - 4n + 2$    {como $-4n > -n^2$, vamos subtituí-lo por $n^2$}
                                                  $2^n > n^2 + n^2 - n^2 + 2$     {substituindo $n^2 + n^2 - n^2 + 2$ por $n^2 + n^2 - n^2$}
                                                  $2^n > n^2 + n^2 - n^2$
                                                  $2^n > n^2$                               C.Q.D.

Neste post, apresentamos a prova por indução de uma inequação. É interessante observar que a prova de inequações é um pouco diferente da prova de equações, pois ao trabalharmos com desigualdades podemos realizar algumas substituições que não seriam permitidas em equações com operador de igualdade.