Prova Indutiva: 2 + 5 + 8 + ... + 3n-1 = $\frac{n(3n + 1)}{2}$

Neste post, apresentaremos a prova indutiva de que a soma 2 + 5 + 8 + ... + 3n-1 vale $\frac{n(3n + 1)}{2}$.

                                   $S{\tiny n} = 2 + 5 + 8 + ... + 3n-1 = \frac{n(3n + 1)}{2}$

A prova é por indução em n:

• Caso Base: Para n = 1, temos que $\frac{1(3\times1 + 1)}{2} = 2$.

• Hipótese de Indução: Vamos assumir que a fórmula vale para n-1, ou seja,

                                     $S{\tiny n-1} =\frac{(n-1)(3(n-1) + 1)}{2} = \frac{3n^2 - 5n + 2}{2}$.

• Caso Geral: Vamos estender a solução adicionando o elemento (3n-1) a soma dos n-1 primeiros elementos que assumimos ser verdadeira na hipótese de indução, logo

                                                              $S{\tiny n} = S{\tiny n-1} + (3n-1)$

                                                              $S{\tiny n} = \frac{3n^2 - 5n + 2}{2}+ (3n-1)$

                                                              $S{\tiny n} = \frac{3n^2 - 5n + 2 + 6n - 2}{2}$

                                                              $S{\tiny n} = \frac{3n^2 + n}{2}$

                                                              {Colocando n em evidência}
                                                              $S{\tiny n} = \frac{n(3n + 1)}{2}$   C.Q.D.

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