Indução e diferenciação: A derivada da função polinomial

Neste post, vamos usar a indução matemática para provar que a derivada da função $f(x) = x^n$é $f'(x) = nx^{n-1}$. Como podemos perceber, precisamos escolher a variável na qual a indução será aplicada, pois a fórmula envolve as variáveis x e n. Aplicaremos indução em n porque a indução só pode ser aplicada sobre os números naturais, e a variável x é real.

Prova por indução em n:

• Caso Base: para n = 1, temos que $\frac{d  x}{dx} = 1*x^{1-1} = 1$, e de fato, a derivada da função identidade $f(x) = x$ é $f'(x) = 1$. 
• Hipótese de Indução: para n = k-1, vamos assumir que a derivada da função $f(x) = x^n$ é $f'(x) = (k-1)x^{k-2}$.
• Caso Geral: Agora, vamos mostrar que  $f'(x) = (k-1)x^{k-1}$ para n = k:
                                           $\frac{d  x^k}{dx} = kx^{k-1}$
                                           {pela regra da cadeia}
                                           $\frac{d  x^k}{dx} = \frac{d  x*x^{k-1}}{dx}$
                                           $                              = 1*x^{k-1} + x*(k-1)x^{k-2}$
                                           $                              = x^{k-1} +(k-1)x^{k-1}$
                                           $                              = (1 + k - 1)x^{k-1}$
                                           $                              = kx^{k-1}$   C.Q.D.

Apesar de uma abordagem puramente matemática, treinar a elaboração de provas através da indução matemática é um exercício fundamental para que possamos construir algoritmos usando indução com mais facilidade.